von
dick01
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04.05.2021, 17:48
Weshalb tragen viele Männer als Anzug gern einen Zweireiher und die Schuhe eine Nummer größer? Die Antwort ist einfach: Männer mit Zweireiher werden im Schnitt 8 Jahre älter und wer größere Füße hat, verdient auch mehr Geld. Die Tatsache, dass Störche die Kinder bringen, weil ihr Rückgang die Geburtenrate sinken lässt, ist ja allgemein bekannt.
Bei den drei Beispielen besteht zwischen den jeweiligen Größen eine Korrelation, aber gibt es deswegen auch einen kausalen Zusammenhang oder überhaupt einen Zusammenhang?
Beginnen wir einmal mit der Scheinkausalität/Scheinkorrelation. Die Korrelation zweier zufälliger Größen Y, Y ist Korrelation (X,Y) = Kovarianz (X,Y)/ ( Varianz (X) * Varianz (Y)), dabei ist die Kovarianz(X,Y) = E( X*Y) – EX * EY
(Varianz (X))² = E (X – E X))² und ebenso Varianz (Y). Dabei ist E (X) der Erwartungswert oder Mittelwert von X.
Beispiel Würfel: E (X) = 1*1/6 + 2*1/6 +..+6*1/6= 3,5; Var (X) = √(35/12) etwa 1,7.
Wichtig fürs Verständnis ist: Die Abhängigkeit zwischen X und Y wird durch die Kovarianz beschrieben und mittels der Normierung durch die Varianzen liegt dann die Korrelation zwischen -1 und 1. Nahe 1 bedeutet, beide Größen laufen „parallel“, nahe -1 bedeutet, beide Größen sind „gegenläufig“.
Und wenn beide Größen unabhängig sind, also nichts miteinander zu tun haben? Dann ist E(X*Y) = E(X) * E(Y) und damit die Kovarianz = 0 und ebenso die Korrelation = 0.
Und weshalb werden dann die Männer mit Zweireiher 8 Jahre älter?
Das liegt daran, dass ich nicht die „tatsächlichen“ Variablen kenne, sondern nur die Werte, die sie beispielweise in einer Stichprobe angenommen haben. Wenn ich den Mittelwert einer solchen Stichprobe bilde, um den „richtigen“ Erwartungswert zu schätzen, also bei n unterschiedlichen Variablen dann 1/n *( X1 + X2 + ... + Xn), so habe ich zunächst wieder eine zufällige Variable als Mittelwert der Summe zufälliger Variabler. Nun sagt mir das „Starke Gesetz der großen Zahlen“, dass dieser Mittelwert mit wachsendem n mit Sicherheit gegen den „richtigen“ Mittelwert strebt. Wenn ich jedoch die Summe statt durch n durch √n teile, so strebt diese Variable (Schwaches Gesetz der großen Zahlen) gegen eine Normalverteilung (Glockenkurve). Das bedeutet, auch für beliebig große n gibt es noch eine sehr kleine aber dennoch positive Wahrscheinlichkeit für eine große Abweichung vom Mittelwert. Das gilt analog auch für die Schätzung der Korrelation. Auch wenn die tatsächliche Korrelation 0 ist, so habe ich bei einer Schätzung noch eine positive Wahrscheinlichkeit, dass die beobachteten Werte eine Korrelation nahe 1 ergeben.
Wir hatten weiter oben (Ansteckung mit Corona) schon gesehen: Falls ein Versuch nur eine kleine Erfolgswahrscheinlichkeit q hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei n Wiederholungen nie auftritt (1 – q)^n, strebt somit gegen 0. Also: Wenn ich‘s nur oft genug versuche, dann klappt es auch bestimmt einmal. Und für die Korrelation bedeutet das: Wenn ich nur genügend viele Stichproben vergleiche, die eigentlich nichts miteinander zu tun haben, finde ich bestimmt ein Pärchen, das stark korreliert.
Dazu noch zwei Beispiele:
Korrelation zwischen der Anzahl weiblicher Doktoren in Naturwissenschaft und Tod durch „aus dem Bett fallen“ ist ca. 0,97
http://tylervigen.com/view_correlation?id=79721Und endlich wissen wir auch, wer an der Erderwärmung schuld ist:
.... mein Bauchgefühl kam immer schon sehr gut damit zurecht.... aber die Neugier siegt sehr oft in meinem Leben.... 
